任意周波数の生成：DDS

任意周波数の正弦波を生成するにはどうすればいいでしょう。周波数が指定されるたびにウェーブテーブルを作り直す方法はすぐ思いつきますが、実際にはよいアイデアではありません。任意周波数の正弦波の生成にはいろいろ手法があるようですが、簡単で実用的なものは与えられた小規模のウェーブテーブルから任意の周波数の波形を生成するというものです。その代表的なアルゴリズムとしてDDS ( Direct Digital Synthesizer )があります。以下ではDDSを使った正弦波生成について説明します。

DDSの動作

DDSの動作は非常に簡単です(図1)。あらかじめ設定された周波数情報がレジスタに格納されており、単位時間ごとにアキュームレーターに加算されます。これによってアキュームレーターには瞬時の位相が格納されることになります。アキュームレーターの値が更新されるたびにウェーブテーブルを引いて位相を信号の値に変換します。これで設定した周波数の正弦波を生成できます。

図1 DDSの原理

DDSはアルゴリズムとしてよりも回路として有名です。この原理の回路は古くから知られ、現在ではワンチップ化されて数百MHzのサンプリングクロックで動作する製品が販売されています。

PLLと比較したDDSの特徴は次のようになります。

• PLLシンセサイザーは注意深く設計しなければ周波数をうまく安定させることはできません。また、周波数の安定度と安定するまでの時間は相反します。DDSは直ちに周波数が安定します。
• PLLシンセサイザーは非常に高いSN比の信号を作り出すことができます。対してDDSは位相歪みによる雑音が問題になります。
• DDSはサンプリング定理に従うのでナイキスト周波数より上のスペクトルを阻止するような出力LPFが必須になります。このLPFの特性を取れない場合、DDSの出力周波数はナイキスト周波数よりはるかに低くしなければなりません。この場合数百MHzといった出力を取り出すにはそれなりの困難が伴います。PLLシンセサイザーはアナログ回路で発振するため、1GHzを超えるような出力も取り出せます。

ソフトウェアによるDDSはハードウェアによるものよりぐっと周波数が落ちますが、数百KHzの信号ならば問題なく作ることができますし、注意深く最適化すればADSP-2191でも数MHzの信号を作ることができます。

プログラム

DDSの動作を確認するための簡易クラスを作りました。CxHzはその名のとおり周波数xHzの信号を生成します。このクラスはC1KHzの子のクラスで、C1KHzが内蔵している1KHz用ウェーブテーブルを使って任意周波数を生成します。周波数は1KHzより低いものを単位Hzでコンストラクタ呼び出し時に指定します。

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//  CxHz 型クラスの導出
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//  CxHz型はC1KHzから導出する。C1KHzの正弦波テーブルを使って1KHz以下の
//  任意周波数を生成する。
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class CxHz: public C1KHz
{
private:
    int phase;
    int index;
    int freq;
public: 
    CxHz( int frequency );
    virtual void handleBuffer( struct mcm::sample * bufTx, 
                               struct mcm::sample * bufRx );
};

C1KHzでは1サンプル毎にウエーブテーブルの要素をコピーして1KHzを生成しました。CxHzでは代わりに図1のDDSの位相アキュームレーターを使ってウェーブテーブルにアクセスします。具体的には内部変数phaseとindexがアキュームレーターの役割を担います。phaseはアキュームレーターの下位でウエーブテーブルにアクセスするのは上位のindexです。phaseには毎回周波数freqが足され、1000を超えるとindexに桁上げがおきます。

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//  CxHz::CxHzの定義
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//      内部位相変数とウェーブテーブルのインデックスを初期化する。
//  また、与えられた引数を周波数として保存する(単位Hz)
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CxHz::CxHz( int frequency )
{
    phase = 0;
    index = 0;
    freq = frequency;
}

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//  CxHz::CxHzの定義
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//      内部位相に周波数を加える。1000を超えるとインデックスを進める。
//  これにより、1KHzのテーブルを元に任意周波数を生成することができる。
//
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void CxHz::handleBuffer( struct mcm::sample * bufTx, 
                         struct mcm::sample * bufRx )
{
    for ( int i=0; i< this->bufSize; i++ ){     // bufSizeはバッファの長さ
        bufTx[i].l = bufTx[i].r = wave[index];  // 正弦波をおく
        phase += freq;                          // 位相を進める
        if ( phase >= 1000 ) {                  // 桁上げはおきたか?
            phase -= 1000;                      // 桁上げがおきたら補正
            index ++;                           // 桁上げ分インクリメント
            if ( index >= 48 )                  // 必要ならば
                index -= 48;                    // ラップアラウンド
        }
    }
}

実験結果

CxHzはちゃんと所望の周波数の信号を生成しますが、音を聞いてみると1KHzのときと違って相当にごった音になります。この原因は次で解明します。

次は⇒DDSの位相誤差